【本文原发时间：2025年10月25日】

问题描述

比特币是一种新型货币。随着比特币价格上涨，比特币“挖矿”这一概念走入大众视野。什么是比特币“挖矿”呢？简单来说，“挖矿”就是在许多数字中，通过暴力枚举的手段逐一尝试，找到一个满足一定数学关系要求的数字。一个数字成功与否是纯随机的，因为我们无法通过数学算法算出这个数字，也无从得知找到该数字的任何线索，只能利用暴力方法，一个一个地尝试，直到恰巧找到这个幸运数字满足要求。因此，每个数字输入后，计算结果刚好满足要求的概率都是相同的。尝试每个数字是否符合要求都要让计算机计算一段时间，且时间是相同的。

找寻这个幸运数字很困难。这是因为，这个数字的可能范围非常大，有$2 ^ {256}$（约为$1.15 \times 10 ^{77}$）个可能。根据2025年10月的数据，整个世界上每秒大概尝试了$10^{21}$次数字，而比特币系统设定平均过约10分钟（尝试了约$6 \times 10^{23}$次）才能出现一个成功的数字，因此尝试一次成功概率约为$\frac{1}{6 \times 10^{23}}$，极低。

虽然困难，但由于谁猜对了数字，比特币系统就会给谁发放价值不菲的比特币作为奖励，因此随着比特币价格的上涨，越来越多的人涌入尝试幸运数字的行列。这个尝试数字以试图成功获取奖励的动作就是“挖矿”，因为“矿”就是这个数字，或者说比特币系统的奖励。这些人就被称为“矿工”。由于挖矿是完全的暴力枚举游戏，而尝试某一数字是否符合要求是需要计算时间的，因此矿工希望自己计算机的算力更加强大，这样可以在相同时间尝试更多数字，提高自己找到这个幸运数字的概率。因此矿工们购置大量的专业计算设备，以提高他们的电脑的计算能力。具体而言：由于每个数字是否成功的概率是相等的，而计算时间也是一样的，因此找到幸运数字的概率就近似与你的算力成正比。

比特币系统规定，整个比特币系统在平均约10分钟会诞生一个幸运数字（无论是谁找出的）。因此，假如你的算力占整个世界上所有矿工的比例为p，那么你平均10/p分钟会找到一个幸运数字，你的平均挖矿速率为0.1p个/min。因为找到幸运数字的概率与你的算力成正比。

问题内容

假如一个比特币矿工的算力占全网（所有矿工）的比例为r。现在我们来思考下列问题：

  1. 他在1分钟内挖到k个区块的概率是多少？提示：$ \lim_{x\rightarrow \infty}\left( 1+\frac{1}{x} \right) ^x=e $

  2. 假设全球的矿工们分为了两大阵营A和B，他们的算力比例分别是p和q，p<q，当然p+q=1.现在他们分别自己开始同时挖矿。起初B比A多挖了d个区块（挖到一个区块的意思就是找到了一个正确数字）。给A足够长的时间，那么A能在某时刻追平B阵营挖矿个数（即：A能比B多挖d个区块）的概率是多少？

假设全球的矿工们分为了两大阵营A和B，他们的算力比例分别是p和q，p<q。现在A、B阵营进行挖矿比赛，A和B同时开始挖矿（起初二者都没有挖矿），比赛时间无限长。我们定义：若在某时刻出现A比B挖矿个数相同或更多的情景，则A有权宣布获胜，比赛立刻结束。在比赛大屏幕上显示B已经挖矿的个数，但不告诉A的挖矿个数。

注意：只要A挖矿个数等于或超过B，A就可以宣布其获胜，比赛结束，但A可以不在一追平B时就宣布胜利。B无权宣布比赛获胜（即若在无限长时间内A无法宣布获胜，则B获胜）。

现在大屏幕上显示z个，则A获得比赛的胜利的概率是多少？给出求和表达式即可，并计算p=0.1, z=2时的概率。

问题解答

问题1：

每次挖矿都可以看作一个随机、独立的尝试，就像掷骰子一样，掷一次骰子就是找一个数字进行运算，掷到特定的点数（如6）就是该数字符合要求，挖矿成功。掷骰子是一个二项分布。但是挖矿中，成功概率p极低，而一个矿工尝试次数n非常大，因此一定时间内的成功次数k就可以看作一个实验次数n非常大而成功概率p非常小的二项分布。我们具体看看：

假如一个矿工算力占全网比例为r，即平均挖矿速率为0.1r个/min。在这1分钟内，假设他尝试了n个数字，每个数字成功的概率为p。那么他恰好成功找到k个数字的概率，由二项分布：

$$ P\left( X=k \right) =C_{n}^{k}p^k\left( 1-p \right) ^{n-k} $$

并且，n非常大，p非常小，但是他在1分钟内找到正确数字的期望值是确定的，为0.1r，也就是二项分布的期望np。现在我们令$\lambda =np=0.1r$，且让n趋向于无穷，将p用$\lambda$代换，有：

$$ p\left( X=k \right) =\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{n!}{k!\left( n-k \right) !}\frac{\lambda ^k}{n^k}\left( 1-\frac{\lambda}{n} \right) ^{n-k} $$

提出含有$\lambda$、k的常数，并利用极限：$\lim_{x\rightarrow \infty}\left( 1+\frac{1}{x} \right) ^x=e$，我们将得到：

$$ P\left( X=k \right) =\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda} $$

这就是矿工在1分钟内，挖到k个区块（找到k个正确数字）的概率。如果时间是10分钟，只需将$\lambda$改为r，因为10分钟内，矿工找到正确数字个数的期望为r。

问题2：

现在阵营A落后B d个区块。A和B现在同时开始挖矿。由于算力与挖矿成功的概率成正比，因此下一个区块究竟由A还是B挖出，取决于A与B的算力比例p和q，即有p的概率下一个区块是A挖出的，q的概率是由B挖出的。我们用$P_i$表示在A落后B i个区块的情况下，A追平B的概率。此时，若下一个区块由A挖出（概率为p），则最后追平的概率为$P_{i-1}$；但是如果下一个区块由B挖出（概率为q），则最后追平的概率为$P_{i+1}$。这样我们有：

$$ P_i=p·P_{i-1}+q·P_{i+1},\ i\geq 1 $$

其中，当i=0时，追平成功，即$P_0=1$. 当$i=+\infty$时，$P_{+\infty}=0 $ ，这是因为当落后无穷个区块时，因为p<q，所以差距只会越来越大，即使给无限的时间。 求解此关系式（利用特征根法，或$ \left( 1-p \right) P_i+p·P_i=p·P_{i-1}+q·P_{i+1},\,\,i\geq 1 $ 得到$Q_i=P_i-P_{i+1}\left( i\ge 1 \right) $ 成等比数列等方法）可得：

$$ P_i=\left( \frac{p}{q} \right) ^i,i\geq 0 $$

也就是说，当落后i个区块时，阵营A想要追平，概率就是上面的$P_i$。

问题3： 现在B已经挖出z个区块，不同的是在此期间A也在挖（他俩是同时开始的），设A挖出了k个。A要赢，当然$k \geq z$就赢了，即只要在这段时间内A挖矿个数$\geq z$，则A胜利。这种情况概率记为$P_1$。但是如果 $k \lt z$ ，则A也还有希望，就是利用无穷的时间去“追平”这差距的z-k个区块，这种情况概率记为$P_2$。注意：可能有$k \geq z$，因为在大屏幕显示z时，A完全可以不急于宣布胜利，满足题目“看到显示z的条件下，最终A获胜”的要求。

对于$P_1$，也就是在B挖出z个区块的时间内，求解A挖出区块的个数为k的概率。利用第一问，我们有：$ P_1=\sum_{k=z}^{\infty}{\frac{\lambda ^k}{k!}}e^{-\lambda} $ ，其中λ是在这段时间内，A挖出区块个数的期望，即$ \lambda =z·\frac{p}{q} $ 。只要在这段时间内A比B挖的多，A就胜利，即满足“现在大屏幕上显示z个”的条件下A胜利。

对于$P_2$，首先A挖出区块k个，概率为第一问的$ P\left( X=k \right) $ ；对于这落后的z-k个区块，A有无穷时间去追平，追平的概率就是第二问求解的当d=z-k的概率$ \left( \frac{p}{q} \right) ^{z-k} $ 。因此，$ P_2=\sum_{k=0}^{z-1}{\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}}·\left( \frac{p}{q} \right) ^{z-k} $ 。

则：$ P=P_1+P_2 $ 。

为便于求值，利用概率和为1，上式变形为：

$$ P=1-\sum_{k=0}^z{\frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda}\left( 1-\left( \frac{p}{q} \right) ^{z-k} \right)} $$

当p=0.1，z=…时，P=…

1,≈20.46% 2,≈5.10% 3,≈1.32% 4,≈0.35% 5,≈0.091% 6,≈0.024%

当p=0.01, z=2时，P≈0.05%。

（注：这实际就是在求解攻击者发起双花攻击的成功概率。z=2对应1个确认数下，双花攻击成功的概率，因为该问题实际上是追平而非“超过”，需要多一个区块才能成功双花攻击。）

【参考资料】见我与Gemini对话和比特币白皮书第11节。